NOTAS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEÓRICO PRÁCTICAS
Ciencias economicas UBA XXI
CONTENIDOS
CAPÍTULO 1: FUNCIONES
CAPÍTULO 2: LÍMITE Y CONTINUIDAD
CAPÍTULO 3: DERIVADAS
CAPÍTULO 4: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
CAPÍTULO 5: INTEGRALES
CAPÍTULO 6: SUCESIONES Y SERIES
ÍNDICE ........................................................................................................................................... 6
PRÓLOGO ................................................................................................................................. 13
CAPÍTULO 1: FUNCIONES ................................................................................................. 15
PRODUCTO CARTESIANO ............................................................................................... 15
RELACIONES ........................................................................................................................... 15
FORMAS DE REPRESENTACIÓN ................................................................................. 16
RELACIÓN INVERSA ........................................................................................................... 17
FUNCIONES ............................................................................................................................... 17
FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL ................................................. 18
FUNCIÓN LINEAL .................................................................................................................. 23
ECUACIÓN DE UNA RECTA CONOCIDOS UN PUNTO P Y SU PENDIENTE M. ....................................................................................................................... 26
ECUACIÓN DE UNA RECTA CONOCIDOS DOS DE SUS PUNTOS ................ 27
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES ...................................................... 28
SISTEMAS DE ECUACIONES ............................................................................................ 30
FUNCIÓN CUADRÁTICA .................................................................................................... 32
SISTEMAS DE ECUACIONES FORMADOS POR UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA Y UNA LINEAL ........................................................................................ 37
FUNCIONES POLINÓMICAS .............................................................................................. 38
FUNCIÓN MÓDULO O VALOR ABSOLUTO ............................................................... 41
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO ................................................................. 42
FUNCIÓN HOMOGRÁFICA ................................................................................................. 42
SISTEMAS FORMADOS POR UNA FUNCIÓN LINEAL Y UNA HOMOGRÁFICA ...................................................................................................................... 45
7
NOTAS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEÓRICO PRÁCTICAS
FUNCIÓN EXPONENCIAL .................................................................................................. 46
FUNCIÓN LOGARÍTMICA ................................................................................................... 47
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................................. 49
RELACIÓN FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRÍA .................................... 51
FUNCIÓN PERIÓDICA ......................................................................................................... 51
FUNCIÓN SENO ...................................................................................................................... 51
FUNCIÓN COSENO ................................................................................................................ 52
DOMINIO DE FUNCIONES ................................................................................................. 55
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES .................................................................................... 56
FUNCIÓN INVERSA ............................................................................................................... 59
FUNCIONES CIRCULARES INVERSAS ........................................................................ 63
FUNCIÓN COMPUESTA....................................................................................................... 65
APLICACIONES ECONÓMICAS: FUNCIONES ECONÓMICAS ............................ 68
FUNCIÓN DE DEMANDA .................................................................................................. 68
FUNCIÓN DE OFERTA ........................................................................................................ 68
PUNTO DE EQUILIBRIO DE MERCADO .................................................................... 68
FUNCIÓN DE COSTO ............................................................................................................ 73
FUNCIÓN DE INGRESO ...................................................................................................... 73
FUNCIÓN DE BENEFICIO O UTILIDAD ....................................................................... 73
INTERÉS COMPUESTO ....................................................................................................... 74
APÉNDICE UNIDAD 1 ........................................................................................................ 75
DIVISIÓN DE POLINOMIOS ............................................................................................... 75
TEOREMA DEL RESTO ..................................................................................................... 76
CAPÍTULO 2: LÍMITE Y CONTINUIDAD ..................................................................... 79
LÍMITE FINITO ......................................................................................................................... 79
DEFINICIÓN .............................................................................................................................. 79
8
NOTAS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEÓRICO PRÁCTICAS
PROPIEDADES DEL LÍMITE ........................................................................................... 80
COCIENTE DE INFINITÉSIMOS ..................................................................................... 82
LÍMITES LATERALES .......................................................................................................... 85
GENERALIZACIÓN DEL CONCEPTO DE LÍMITE ................................................. 87
LÍMITE INFINITO .................................................................................................................... 87
LÍMITE EN EL INFINITO ..................................................................................................... 88
COCIENTE DE INFINITOS .................................................................................................. 89
OTRAS INDETERMINACIONES ...................................................................................... 91
ASÍNTOTAS ............................................................................................................................... 94
1) ASÍNTOTA VERTICAL ................................................................................................... 94
2) ASÍNTOTA HORIZONTAL ........................................................................................... 96
3) ASÍNTOTA OBLICUA ...................................................................................................... 97
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS............................................... 99
FUNCIONES DISCONTINUAS ............................................................................................ 99
CONTINUIDAD EN UN INTERVALO CERRADO ................................................. 101
FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO CERRADO ............................ 104
TEOREMA 1 ......................................................................................................................... 104
TEOREMA 2 ......................................................................................................................... 104
TEOREMA DE BOLZANO .............................................................................................. 104
COROLARIO DEL TEOREMA DE BOLZANO ....................................................... 104
TEOREMA DEL VALOR MEDIO ................................................................................. 105
GENERALIZACIÓN DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO ............................ 105
FUNCIONES ECONÓMICAS DISCONTINUAS .......................................................... 106
CAPITALIZACIÓN CONTINUA ..................................................................................... 107
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NOTAS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEÓRICO PRÁCTICAS
CAPÍTULO 3: DERIVADAS ............................................................................................ 110
DEFINICIÓN ........................................................................................................................... 110
FUNCIÓN DERIVADA……………………………………………………………………………………114
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES ......................................... 116
DERIVACIÓN DE FUNCIONES COMPUESTAS ...................................................... 118
DERIVADA LOGARÍTMICA ........................................................................................... 120
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA ................................... 121
ECUACIONES DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL .............................. 122
DERIVADAS SUCESIVAS ................................................................................................ 125
DIFERENCIAL ...................................................................................................................... 126
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL DIFERENCIAL .................................. 127
COSTO MARGINAL ............................................................................................................ 129
INGRESO MARGINAL ...................................................................................................... 129
BENEFICIO MARGINAL ................................................................................................... 130
ELASTICIDAD DE LA DEMANDA ............................................................................. 131
GENERALIZACIÓN DEL CONCEPTO DE ELASTICIDAD ............................... 132
CAPÍTULO 4: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS……………………………….133
PRIMERA PARTE: ESTUDIO DE FUNCIONES ................................................... 134
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES ..................................................... 134
CONDICIÓN NECESARIA PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS RELATIVOS ........................................................................................................................... 139
CONDICIÓN SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS RELATIVOS ........................................................................................................................... 141
PRIMER CRITERIO ........................................................................................................... 141
SEGUNDO CRITERIO ........................................................................................................ 142
10
NOTAS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEÓRICO PRÁCTICAS
CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN ............................................................. 149
CRITERIO DE CONCAVIDAD ....................................................................................... 150
PUNTO DE INFLEXIÓN .................................................................................................... 150
ESTUDIO COMPLETO DE FUNCIONES .................................................................... 154
SEGUNDA PARTE: TEOREMAS DE LAS FUNCIONES DERIVABLES ..... 167
TEOREMA DE ROLLE ..................................................................................................... 167
TEOREMA DE LAGRANGE .......................................................................................... 169
TEOREMA DE CAUCHY .................................................................................................. 171
REGLA DE L’HOSPITAL ................................................................................................. 172
CAPÍTULO 5: INTEGRALES .......................................................................................... 178
PROPIEDADES .................................................................................................................... 179
MÉTODOS DE INTEGRACION ...................................................................................... 182
MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN .............................................. 182
PROPIEDADES .................................................................................................................... 184
MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES ......................................................... 184
MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR FRACCIONES SIMPLES .......................... 187
APLICACIONES ECONÓMICAS (PRIMERA PARTE) ......................................... 192
INTEGRALES ........................................................................................................................ 193
INTEGRAL DEFINIDA ...................................................................................................... 193
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA .................................................... 195
TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRAL ....................... 195
APLIQUEMOS LO VISTO A UN PROBLEMA. ........................................................ 197
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NOTAS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEÓRICO PRÁCTICAS
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL ........... 197
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL ........ 198
(REGLA DE BARROW) ................................................................................................... 198
CÁLCULO DE ÁREAS ...................................................................................................... 200
APLICACIONES ECONÓMICAS (SEGUNDA PARTE) ........................................ 205
INTEGRALES IMPROPIAS ............................................................................................. 208
INTEGRALES CON LÍMITES INFINITOS ................................................................... 208
INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN DISCONTINUA ..................................................... 209
CAPÍTULO 6: SUCESIONES .......................................................................................... 212
CLASIFICACIÓN ................................................................................................................... 213
PROPIEDADES DEL LÍMITE DE SUCESIONES ................................................... 213
SERIES NUMÉRICAS ........................................................................................................ 215
CLASIFICACIÓN ................................................................................................................... 216
CONDICIÓN NECESARIA DE CONVERGENCIA .................................................. 216
PROPIEDADES DE LAS SERIES NUMÉRICAS .................................................... 218
SERIE GEOMÉTRICA ........................................................................................................ 218
SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS ........................................................................... 220
CRITERIO DE COMPARACIÓN ................................................................................... 220
CRITERIO DE D’ALEMBERT ........................................................................................ 221
CRITERIO DE CAUCHY ................................................................................................... 222
CRITERIO DE RAABE ..................................................................................................... 222
SERIES ALTERNADAS .................................................................................................... 223
CRITERIO DE LEIBNIZ .................................................................................................... 223
CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONDICIONAL .................................................. 224
SERIES DE POTENCIAS .................................................................................................. 225
RADIO DE CONVERGENCIA ........................................................................................ 225
CÁLCULO DEL RADIO DE CONVERGENCIA ....................................................... 226
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NOTAS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEÓRICO PRÁCTICAS
CAMPO DE CONVERGENCIA ...................................................................................... 226
FÓRMULA DE TAYLOR Y MAC LAURIN ............................................................... 229
APLICACIONES ECONÓMICAS .................................................................................... 232
ALFABETO GRIEGO .......................................................................................................... 235
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS............................................................................................ 236
BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................................... 237
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Ciencias economicas UBA XXI
CONTENIDOS
CAPÍTULO 1: FUNCIONES
CAPÍTULO 2: LÍMITE Y CONTINUIDAD
CAPÍTULO 3: DERIVADAS
CAPÍTULO 4: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
CAPÍTULO 5: INTEGRALES
CAPÍTULO 6: SUCESIONES Y SERIES
ÍNDICE ........................................................................................................................................... 6
PRÓLOGO ................................................................................................................................. 13
CAPÍTULO 1: FUNCIONES ................................................................................................. 15
PRODUCTO CARTESIANO ............................................................................................... 15
RELACIONES ........................................................................................................................... 15
FORMAS DE REPRESENTACIÓN ................................................................................. 16
RELACIÓN INVERSA ........................................................................................................... 17
FUNCIONES ............................................................................................................................... 17
FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL ................................................. 18
FUNCIÓN LINEAL .................................................................................................................. 23
ECUACIÓN DE UNA RECTA CONOCIDOS UN PUNTO P Y SU PENDIENTE M. ....................................................................................................................... 26
ECUACIÓN DE UNA RECTA CONOCIDOS DOS DE SUS PUNTOS ................ 27
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES ...................................................... 28
SISTEMAS DE ECUACIONES ............................................................................................ 30
FUNCIÓN CUADRÁTICA .................................................................................................... 32
SISTEMAS DE ECUACIONES FORMADOS POR UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA Y UNA LINEAL ........................................................................................ 37
FUNCIONES POLINÓMICAS .............................................................................................. 38
FUNCIÓN MÓDULO O VALOR ABSOLUTO ............................................................... 41
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO ................................................................. 42
FUNCIÓN HOMOGRÁFICA ................................................................................................. 42
SISTEMAS FORMADOS POR UNA FUNCIÓN LINEAL Y UNA HOMOGRÁFICA ...................................................................................................................... 45
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NOTAS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEÓRICO PRÁCTICAS
FUNCIÓN EXPONENCIAL .................................................................................................. 46
FUNCIÓN LOGARÍTMICA ................................................................................................... 47
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................................. 49
RELACIÓN FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRÍA .................................... 51
FUNCIÓN PERIÓDICA ......................................................................................................... 51
FUNCIÓN SENO ...................................................................................................................... 51
FUNCIÓN COSENO ................................................................................................................ 52
DOMINIO DE FUNCIONES ................................................................................................. 55
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES .................................................................................... 56
FUNCIÓN INVERSA ............................................................................................................... 59
FUNCIONES CIRCULARES INVERSAS ........................................................................ 63
FUNCIÓN COMPUESTA....................................................................................................... 65
APLICACIONES ECONÓMICAS: FUNCIONES ECONÓMICAS ............................ 68
FUNCIÓN DE DEMANDA .................................................................................................. 68
FUNCIÓN DE OFERTA ........................................................................................................ 68
PUNTO DE EQUILIBRIO DE MERCADO .................................................................... 68
FUNCIÓN DE COSTO ............................................................................................................ 73
FUNCIÓN DE INGRESO ...................................................................................................... 73
FUNCIÓN DE BENEFICIO O UTILIDAD ....................................................................... 73
INTERÉS COMPUESTO ....................................................................................................... 74
APÉNDICE UNIDAD 1 ........................................................................................................ 75
DIVISIÓN DE POLINOMIOS ............................................................................................... 75
TEOREMA DEL RESTO ..................................................................................................... 76
CAPÍTULO 2: LÍMITE Y CONTINUIDAD ..................................................................... 79
LÍMITE FINITO ......................................................................................................................... 79
DEFINICIÓN .............................................................................................................................. 79
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NOTAS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEÓRICO PRÁCTICAS
PROPIEDADES DEL LÍMITE ........................................................................................... 80
COCIENTE DE INFINITÉSIMOS ..................................................................................... 82
LÍMITES LATERALES .......................................................................................................... 85
GENERALIZACIÓN DEL CONCEPTO DE LÍMITE ................................................. 87
LÍMITE INFINITO .................................................................................................................... 87
LÍMITE EN EL INFINITO ..................................................................................................... 88
COCIENTE DE INFINITOS .................................................................................................. 89
OTRAS INDETERMINACIONES ...................................................................................... 91
ASÍNTOTAS ............................................................................................................................... 94
1) ASÍNTOTA VERTICAL ................................................................................................... 94
2) ASÍNTOTA HORIZONTAL ........................................................................................... 96
3) ASÍNTOTA OBLICUA ...................................................................................................... 97
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS............................................... 99
FUNCIONES DISCONTINUAS ............................................................................................ 99
CONTINUIDAD EN UN INTERVALO CERRADO ................................................. 101
FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO CERRADO ............................ 104
TEOREMA 1 ......................................................................................................................... 104
TEOREMA 2 ......................................................................................................................... 104
TEOREMA DE BOLZANO .............................................................................................. 104
COROLARIO DEL TEOREMA DE BOLZANO ....................................................... 104
TEOREMA DEL VALOR MEDIO ................................................................................. 105
GENERALIZACIÓN DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO ............................ 105
FUNCIONES ECONÓMICAS DISCONTINUAS .......................................................... 106
CAPITALIZACIÓN CONTINUA ..................................................................................... 107
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NOTAS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEÓRICO PRÁCTICAS
CAPÍTULO 3: DERIVADAS ............................................................................................ 110
DEFINICIÓN ........................................................................................................................... 110
FUNCIÓN DERIVADA……………………………………………………………………………………114
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES ......................................... 116
DERIVACIÓN DE FUNCIONES COMPUESTAS ...................................................... 118
DERIVADA LOGARÍTMICA ........................................................................................... 120
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA ................................... 121
ECUACIONES DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL .............................. 122
DERIVADAS SUCESIVAS ................................................................................................ 125
DIFERENCIAL ...................................................................................................................... 126
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL DIFERENCIAL .................................. 127
COSTO MARGINAL ............................................................................................................ 129
INGRESO MARGINAL ...................................................................................................... 129
BENEFICIO MARGINAL ................................................................................................... 130
ELASTICIDAD DE LA DEMANDA ............................................................................. 131
GENERALIZACIÓN DEL CONCEPTO DE ELASTICIDAD ............................... 132
CAPÍTULO 4: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS……………………………….133
PRIMERA PARTE: ESTUDIO DE FUNCIONES ................................................... 134
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES ..................................................... 134
CONDICIÓN NECESARIA PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS RELATIVOS ........................................................................................................................... 139
CONDICIÓN SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS RELATIVOS ........................................................................................................................... 141
PRIMER CRITERIO ........................................................................................................... 141
SEGUNDO CRITERIO ........................................................................................................ 142
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CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN ............................................................. 149
CRITERIO DE CONCAVIDAD ....................................................................................... 150
PUNTO DE INFLEXIÓN .................................................................................................... 150
ESTUDIO COMPLETO DE FUNCIONES .................................................................... 154
SEGUNDA PARTE: TEOREMAS DE LAS FUNCIONES DERIVABLES ..... 167
TEOREMA DE ROLLE ..................................................................................................... 167
TEOREMA DE LAGRANGE .......................................................................................... 169
TEOREMA DE CAUCHY .................................................................................................. 171
REGLA DE L’HOSPITAL ................................................................................................. 172
CAPÍTULO 5: INTEGRALES .......................................................................................... 178
PROPIEDADES .................................................................................................................... 179
MÉTODOS DE INTEGRACION ...................................................................................... 182
MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN .............................................. 182
PROPIEDADES .................................................................................................................... 184
MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES ......................................................... 184
MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR FRACCIONES SIMPLES .......................... 187
APLICACIONES ECONÓMICAS (PRIMERA PARTE) ......................................... 192
INTEGRALES ........................................................................................................................ 193
INTEGRAL DEFINIDA ...................................................................................................... 193
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA .................................................... 195
TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRAL ....................... 195
APLIQUEMOS LO VISTO A UN PROBLEMA. ........................................................ 197
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NOTAS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEÓRICO PRÁCTICAS
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL ........... 197
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL ........ 198
(REGLA DE BARROW) ................................................................................................... 198
CÁLCULO DE ÁREAS ...................................................................................................... 200
APLICACIONES ECONÓMICAS (SEGUNDA PARTE) ........................................ 205
INTEGRALES IMPROPIAS ............................................................................................. 208
INTEGRALES CON LÍMITES INFINITOS ................................................................... 208
INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN DISCONTINUA ..................................................... 209
CAPÍTULO 6: SUCESIONES .......................................................................................... 212
CLASIFICACIÓN ................................................................................................................... 213
PROPIEDADES DEL LÍMITE DE SUCESIONES ................................................... 213
SERIES NUMÉRICAS ........................................................................................................ 215
CLASIFICACIÓN ................................................................................................................... 216
CONDICIÓN NECESARIA DE CONVERGENCIA .................................................. 216
PROPIEDADES DE LAS SERIES NUMÉRICAS .................................................... 218
SERIE GEOMÉTRICA ........................................................................................................ 218
SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS ........................................................................... 220
CRITERIO DE COMPARACIÓN ................................................................................... 220
CRITERIO DE D’ALEMBERT ........................................................................................ 221
CRITERIO DE CAUCHY ................................................................................................... 222
CRITERIO DE RAABE ..................................................................................................... 222
SERIES ALTERNADAS .................................................................................................... 223
CRITERIO DE LEIBNIZ .................................................................................................... 223
CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONDICIONAL .................................................. 224
SERIES DE POTENCIAS .................................................................................................. 225
RADIO DE CONVERGENCIA ........................................................................................ 225
CÁLCULO DEL RADIO DE CONVERGENCIA ....................................................... 226
12
NOTAS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEÓRICO PRÁCTICAS
CAMPO DE CONVERGENCIA ...................................................................................... 226
FÓRMULA DE TAYLOR Y MAC LAURIN ............................................................... 229
APLICACIONES ECONÓMICAS .................................................................................... 232
ALFABETO GRIEGO .......................................................................................................... 235
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS............................................................................................ 236
BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................................... 237
